En este capitulo encontrara la definición del movimiento oscilatorio y en especial el del movimiento armónico simple, su explicación cinemática, dinámica y enérgetica, asi como sus aplicaciones: periodo de un péndulo simple, periodo de un oscilador armónico simple (sistema masa - resorte), periodo de un péndulo físico, periodo de un péndulo de torsión, sistemas resonantes, oscilaciones forzadas y amortiguadas.
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PERIODO Y FRECUENCIA DE UN MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE
Al comparar las ecuaciones de la posición y la aceleración para el movimiento armónico simple, encontramos que la aceleración a y la elongación x se relacionan mediante la formula:
a = - w2.x
De acuerdo con la segunda ley de Newton, F = m.a. Entonces, la fuerza ejercida sobre el objeto de masa m es:
F = - m.w2.x
Recuerda que la condición para que un movimiento sea armónico simple es que la fuerza de restitución se pueda expresar como
F = - k. x, para deducir que: k = m.w2, de donde √k/m = w
Como w = 2π / T tenemos que √k/m = 2π / T
De donde, el periodo de un movimiento armónico simple se puede expresar como
T = 2π.√m/k
Sabemos que la frecuencia es el inverso del periodo, entonces la frecuencia se expresa así:
F = 1 / T = 1 / 2π .√k/m
Como en el caso del movimiento de un objeto que oscila, sin fricción, sujeto a un resorte se cumple que F = -k.x (fig. 27), el periodo de oscilación para este movimiento depende solo de la masa del objeto y de la constante elástica del resorte. Como podríamos esperar, la frecuencia es mas grande para un resorte de mayor rigidez (tanto mas rígido el resorte, será mas elevado el valor de k) y disminuye a medida que crece la masa.
Figura 1: Una masa unida a un resorte sobre una pista sin fricción efectúa un movimiento armónico simple. a) cuando la amasa se desplaza hacia la derecha del punto de equilibrio, el desplazamiento es positivo y la aceleración es negativa. b) En la posición de equilibrio, x = 0, la aceleración es cero pero la velocidad es un máximo. c) Cuando el desplazamiento es negativo, la aceleración es positiva.
Ejemplo. Cuidado con los baches: Un automóvil de 1300 kg se construye con un armazón soportado por cuatro resortes. Cada resorte tiene una constante de fuerza de 20000 n/m. Si dos personas que viajan en el auto tienen una masa combinada de 160 kg, encuentre: a) La frecuencia de vibración del auto cuando pasa por un bache en una calle, y b) El tiempo que tarda el automóvil en ejecutar dos vibraciones completas.
Solución.
a) Suponemos que el peso está distribuido de manera uniforme. Así, cada resorte soporta un cuarto de la carga. La masa total soportada por los resortes es 1460 kg y, en consecuencia, cada resorte soporta 1460 kg / 4 = 365 kg. Por consiguiente, la frecuencia de vibración es:
F = 1 / 2π .√k/m = 1 / 2π.√20000n/m / 365 kg = 1.18 Hz.
b) Sabemos que el periodo es el tiempo que tarda un objeto para realizar una vibración, y que el periodo es el inverso de la frecuencia, entonces: T = 1 / F = 1 / 1.18 s-1 = 0.847 s. Para dos vibraciones completas se tiene un tiempo de: t = 2.T = 2.(0.847 s) = 1.694 s
Problema propuesto. Un sistema masa – resorte: una masa de 200 g está conectada a un resorte ligero de constante de fuerza 5.0 n/m y puede oscilar libremente, sobre una pista horizontal sin fricción. Si la masa se desplaza 5.0 cm desde el equilibrio y se suelta a partir del reposo, como en la figura 28, a) Encuentre el periodo de su movimiento, b) Determine la velocidad máxima de la masa, c) ¿Cuál es la aceleración máxima de la masa, y d) Exprese el desplazamiento, la velocidad y l aceleración como funciones del tiempo.
Figura2: Un sistema masa – resorte que inicia su movimiento desde el reposo.
Fuente: FISICA SERWAY - Tomo I. - Quinta edición. Fisica 11. Editorial Santillana.
PERIODO Y FRECUENCIA DE UN PENDULO SIMPLE.
Llamamos péndulo simple a un ente ideal constituido por una masa puntual suspendido de un hilo inextensible y sin peso, capaz de oscilar libremente en el vacío y sin rozamiento.
Al separar la masa de su posición de equilibrio, oscila a ambos lados de dicha posición, realizando un movimiento armónico simple. En la posición de uno de los extremos se produce un equilibrio de fuerzas, según observamos en el gráfico:
Figura1: Péndulo simple y fuerzas que actúan sobre la masa pendular
El peso de la bola se descompone en dos componentes: una primera componente que se equilibra con la tensión del hilo, de manera que:
La segunda componente, perpendicular a la anterior, es la que origina el movimiento oscilante:
Sin embargo, para oscilaciones de valores de ángulos pequeños, se cumple:
Comprobamos en la tabla siguiente, con datos de ángulos y sus senos, esta afirmación.
Por consiguiente, podremos escribir, teniendo en cuenta, el valor del seno del ángulo:
Se observa que la fuerza recuperadora, que hace oscilar al péndulo, es función de la elongación (x), con lo que podemos afirmar que se trata de un M. A. S. Por ello, podemos comparar la ecuación que caracteriza a este tipo de movimientos, que vemos a continuación:
, con la ecuación obtenida anteriormente 
Vemos que la frecuencia angular es: 
, y teniendo en cuenta que 
Donde T es el período: Tiempo utilizado en realizar una oscilación completa, llegamos a:
En la ecuacion anteior se observa, que el periodo de oscilacion de un pendulo simple solo depende de la longitud de la cuerda y del valor de g. Puesto que el periodo es independiente de la masa, concluimos que todos los pendulos simples de igual longitud en el mismo sitio oscilan con periodos iguales.
Sabemos que la frecuencia es el inverso del periodo, entonces la frecuencia se expresa así:
F = 1 / T = 1 / 2π .√(g/l)
Para pequeñas longitudes y aceleración en caída libre “altas” (g grandes), darán como resultado oscilaciones rápidas (de alta frecuencia). Esto es, la frecuencia es más grande para un péndulo de menor longitud (tanto más rígido el péndulo, será más elevado el valor de g) y disminuye a medida que crece la longitud.
El pendulo simple puede ser empleado como un marcador de tiempo. También es un dispositivo adecuado para efectuar medidas precisas de la aceleracion en caida libre. Dichas mediciones son importantes puesto que las variaciones en los valores locales de g pueden brindar información acerca de la ubicación de petroleo y otros valiosos recursos subterraneos.
Ejemplo conceptual: la pesa de un pendulo está hecha con una esfera llena de agua. ¿Qué le pasaria a la frecuencia de vibracion de este pendulo si hubiera un hoyo en la esfera que dejara salir el agua lentamente? Ignore tanto la masa de la cuerda como la resistencia del aire.
Solución.
La frecuencia de un pendulo es igual al inverso del periodo. De acuerdo con la ecuacion de frecuencia F = (1/2π).√(g/L), la frecuencia solo depende de la longitud del pendulo y la aceleracion en caida libre, y no de la masa, la frecuencia no cambiara de manera apreciable si la esfera es pequeña comparada con la longitud de la suspensión. Sin embargo, conforme el agua sale de la esfera la frecuencia disminira primero (conforme la distancia desde el pivote al centro de masa de la esfera aumente). Despues de que el nivel del agua en la esfera alcanza el punto medio, la frecuencia empieza a aumentar otra vez hasta que la esfera se vacia. En ese punto, la frecuencia es la misma que cuando la esfera estaba completamente llena de agua.
Ejemplo. Una medidad de la torre. Un hombre entra a una alta torre, de la cual necesita conocer su altura. Observa un largo pendulo que se extiende desde el techo casi hasta el piso y cuyo periodo es de 12.0 s. ¿Qué tan alta es la torre?. Si el pendulo se llevara a la luna, donde la aceleracion de caida libre es 1.67 m/s2, ¿cuál será el periodo ahí?
Solución.
Como T = 2π.√(l/g), se tiene que L = gT2/4π2 = (9.8 m/s2)(12.0 s)2/4π2 = 35.7 m
En la luna T = 2π.√(l/g) = 2π.√(35.7 m/9.8 m/s2) = 29.1 s
Ejercico propuesto. Para el pendulo de la figura dada, calcula la velocidad maxima, vmáx, si la altura del objeto en el extremo A’ de la trayectoria es ho.
Figura 2: Péndulo simple
Fuente: FISICA SERWAY - Fisica tomo I. - Quinta edición. Fisica II y nueva fisica 11 - Editorial santillana.
PERIODO Y FRECUENCIA DE UN SISTEMA MASA RESORTE U OSCILADOR ARMONICO SIMPLE.
Otro ejemplo de Movimiento Armónico Simple es el sistema masa-resorte que consiste en una masa “m” unida a un resorte, que a su vez se halla fijo a una pared, como se muestra en la figura 1. Se supone movimiento sin rozamiento sobre la superficie horizontal.
Figura1: sistema masa resorte
El resorte es un elemento muy común en máquinas. Tiene una longitud normal, en ausencia de fuerzas externas. Cuando se le aplican fuerzas se deforma alargándose o acortándose en una magnitud “x” llamada “deformación”. Cada resorte se caracteriza mediante una constante “k” que es igual a la fuerza por unidad de deformación que hay que aplicarle. La fuerza que ejercerá el resorte es igual y opuesta a la fuerza externa aplicada (si el resorte deformado está en reposo) y se llama fuerza recuperadora elástica.
Dicha fuerza recuperadora elástica es igual a : F = – k.x
La fuerza recuperadora elástica es directamente proporcional a la deformación sufrida, pero opuesta en signo: si la deformación es positiva, la fuerza es negativa y viceversa. ver figura 2.
Figura2: Sistema masa resorte y comportamiento de la fuerza y la deformación.
En la figura de arriba tenemos el cuerpo de masa “m” en la posición de equilibrio, con el resorte teniendo su longitud normal.
Si mediante una fuerza externa lo apartamos de la misma (segundo dibujo), hasta una deformación “x = + A” y luego lo soltamos, el cuerpo empezará a moverse con M.A.S. oscilando en torno a la posición de equilibrio. En este dibujo la fuerza es máxima pero negativa, lo que indica que va hacia la izquierda tratando de hacer regresar al cuerpo a la posición de equilibrio.
Llegará entonces hasta una deformación “x = -A” (tercer dibujo). En este caso la deformación negativa indica que el resorte está comprimido. La fuerza será máxima pero positiva, tratando de volver al cuerpo a su posición de equilibrio.
A través de la Segunda Ley de Newton y la ley de Hooke relacionamos la fuerza actuante (recuperadora) con la aceleración a, así:
F = m.a (segunda ley de Newton)
F = - k.x (fuerza elástica recuperadora para el resrte)
Igualando estas fuerzas se obtiene: m.a = - k.x, de donde a = - (k/m).x
La frecuencia angular para una masa que oscila atada a un resorte es
w2 = k/m, de donde: w = √(k/m)
Como w = 2π / T tenemos que √(k/m) = 2π / T
De donde, el periodo de oscilación del sistema masa – resorte se puede expresar como
T = 2π.√(m/k)
El periodo de oscilación para este movimiento depende solo de la masa del objeto y de la constante elástica del resorte. Es decir, a mayor masa, más lenta será la oscilación (mayor periodo). Si el resorte es más “blando” (menor k) también se tendrá una oscilación más lenta.
Sabemos que la frecuencia es el inverso del periodo, entonces la frecuencia se expresa así:
F = 1 / T = 1 / 2π .√k/m
Para pequeñas masa y resortes “duros” (k grandes), darán como resultado oscilaciones rápidas (de alta frecuencia). Esto es, la frecuencia es más grande para un resorte de mayor rigidez (tanto más rígido el resorte, será más elevado el valor de k) y disminuye a medida que crece la masa.
Fuente: FISICA SERWAY - Fisica tomo I. - Quinta edición.
PERIODO DE UN PENDULO FISICO.
Si un objeto colgante oscila alrededor de un eje fijo que no pasa por su centro de masa, y el objeto no puede aproximarse con precisión como una masa puntual, entonces debe tratarse como un péndulo físico o compuesto. Considere un objeto rígido que gira alrededor de un punto O que esta a una distancia d del centro de masa (fig. 1). El momento de torsión alrededor de O lo proporciona el peso del objeto, y la magnitud del momento de torsión es mgd.sen θ. Aprovechando el hecho de que τ = I.α, donde I es el momento de inercia alrededor del eje que pasa por O. obtenemos
Fig. 1. Péndulo físico
- mgd.sen θ = I.α
El signo menos indica que el momento de torsión alrededor de O tiende a disminuir θ. Es decir, el peso del objeto produce un momento de torsión restaurador.
Si suponemos también que θ es pequeño, entonces la aproximación sen θ = θ es valida y la ecuación de movimiento se reduce a
α = - (mgd / I).θ = - w2.θ
Esta ecuación es de la forma a = - w2.x, de manera que el movimiento es armónico simple. La frecuencia angular del movimiento es
w = √(mgd / I)
El período es
T = 2π / w = 2π. √(I / mgd)
Se puede utilizar este resultado para medir el momento de inercia de un cuerpo rígido plano. Si se conoce la localización del centro de masa y consecuentemente de d, el momento de inercia puede obtenerse midiendo el periodo. Por ultimo, advierta que la ecuación de periodo se reduce al periodo de un péndulo simple cuando I = m.d2, es decir, cuando toda la masa se concentra en el centro de masa.
Ejemplo. Una barra oscilante: Una barra uniforme de masa M y largo L gira alrededor de uno de sus extremos y oscila en un plano vertical (fig. 2). Encuentre el periodo de oscilación si la amplitud del movimiento es pequeña.
Fig. 2. Barra fija que oscila entorno aun pivote que pasa por uno de sus extremos.
Solución.
El momento de inercia de una barra rígida uniforme alrededor de un eje que pasa por un extremo es 1/3 M.L2. La distancia d desde el pivote al centro de masa es L/2. Al sustituir estas cantidades en la ecuación de periodo se obtiene
T = 2π / w = 2π. √(I / mgd) = 2π. √((1/3)M.L2 / Mg.(L/2)) = 2π. √(2L / 3g)
Comentario: En uno de los descensos a la luna, un astronauta que caminaba sobre la superficie tenía un cinto que colgaba de su traje espacial y oscilaba como un péndulo compuesto. Desde la tierra, un científico observo este movimiento en la T.V. y a partir de ahí fue capaz de calcular la aceleración en caída libre en la luna. ¿Cómo supone usted que se efectuó este calculo?
Fuente: FISICA SERWAY - Fisica tomo I. - Quinta edición.
PERIODO DE UN PENDULO DE TORSION.
El péndulo de torsión es un ejemplo de movimiento armónico simple, consiste en un disco o cilindro sólido sostenido por una barra delgada o alambre delgado (fig. 1a y 2b). Si se hace girar el disco en la medida de un ángulo pequeño θ. El alambre torcido ejerce un momento de torsión restaurador sobre el cuerpo el cual es directamente proporcional al desplazamiento angular. Se tiene:
(a) 
(b)
Fig. 1. a) Péndulo de torsión compuesto de un disco rígido suspendido por una barra delgada unida a un soporte regido. b) Péndulo de torsión compuesto de una barra rígida suspendido por una alambre delgado unido a un soporte regido.
τ = - k.θ
Donde k (la letra griega kappa) recibe el nombre de constante de torsión de la barra delgada o alambre de soporte y depende del material de que esta hecha la barra delgada o el alambre. El valor de k puede obtenerse aplicando un momento de torsión conocido para torcer el alambre un ángulo θ que pueda medirse. La aplicación de la segunda ley de Newton para movimiento rotacional produce:
τ = - k.θ = I.α, de donde: α = - (k/I).θ
De nuevo, esta es la ecuación de movimiento para un oscilador armónico simple, con frecuencia angular igual a
W = √(k/I)
El periodo es
T = 2π / w = 2π.√(I/k)
Este sistema recibe el nombre de péndulo torsional. No hay una restricción de ángulo pequeño en esta situación, siempre que la respuesta del alambre permanezca lineal. El volante de un reloj oscila como un péndulo de torsión, por medio de la energía del resorte principal. Los péndulos de torsión se usan también en los galvanómetros de laboratorio y en la balanza de torsión de Cavendish.
Fuente: FISICA SERWAY - Fisica tomo I. - Quinta edición.