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ENERGIA DE UN OSCILADOR ARMONICO SIMPLE – M.A.S.

Examinemos la energía mecánica del sistema masa – resorte mostrado en la figura 28. Puesto que la superficie no presenta fricción, la energía mecánica total sea constante. Podemos expresar la energía cinética como:

K = ½ m.v² = ½ m(-A.w.sen (w.t + φ_o))² = ½ m.A².w².sen² (w.t + φ_o)

La energía potencial elástica almacenada en el resorte para cualquier elongación x esta dada por:

U = ½ k.x² = ½ k.(A. cos (w.t + φ_o))² = ½ k.A². cos² (w.t + φ_o)

Vemos que K y U son simples cantidades positivas. En vista de que w² = k/m, podemos expresar la energía total del oscilador armónico simple como

E = K + U =  ½ k.A².[ sen² (w.t + φ_o) + cos² (w.t + φ_o)]

Pero sen²θ + cos²θ = 1, de donde θ = w.t + φ_o, en consecuencia esta ecuación se reduce a

E = ½ k.A²

Lo cual significa que la energía de un oscilador armónico simple es una constante del movimiento y es proporcional al cuadrado de la amplitud. De hecho, la energía mecánica total es igual ala energía potencial máxima almacenada en el resorte cuando x = ± A. en estos puntos, v = 0 y no hay energía cinética. En la posición de equilibrio, x = 0 y U = 0, de manera que la energía total está toda en la forma cinética (fig. 29). Es decir, en x = 0,

E = ½ m.v²_màx = ½ m.w².A²

Figura 1: Comportamiento de posición, velocidad y energía cinética y potencial elástica en el movimiento armónico simple.

En la figura 2a se presentan graficas de la energía cinética y potencial contra el tiempo, donde hemos tomado φ_o = 0. Como se menciono antes, tanto K como U siempre son positivas y se suman en todo momento en una constante igual a ½ k.A², la energía total del sistema. Las variaciones de K y U con el desplazamiento se grafican en la figura 2b. la energía se transforma continuamente de la energía potencial almacenada en el resorte a la energía cinética de la masa.

Figura 2: a) Energía cinética, energía potencial elástica y energía total contra el tiempo para un oscilador armónico simple con φ_o = 0. b) Energía cinética, energía potencial elástica y energía total contra el desplazamiento para un oscilador armónico simple. En cualquiera de las graficas, observe que K + U = E_T = constante.

La figura 3: ilustra la posición, velocidad, aceleración, la fuerza, energía cinética, energía potencial elástica y la energía total de un sistema masa – resorte para un periodo completo del movimiento. La mayor parte de las ideas expuestas hasta ahora se incorporan en esta importante figura. Estudie cuidadosamente la figura y tabla adjunta.

Tabla comportamiento cinemática, dinámico y energético de un oscilador armónico simple

Por ultimo, es posible utilizar la conservación de la energía para obtener la velocidad correspondiente a un desplazamiento arbitrario x al expresar la energía total en alguna posición arbitraria como

E = K + U = ½ m.v² + ½ k.x² = ½ k.A²

V = ± √(k/m)(A² – x²) = ± w.√(A² – x²)

También en este caso esta expresión comprueba el hecho de que la velocidad es un máximo en x = 0 y es cero en los puntos de retorno, x = ± A.

Ejemplo. Oscilaciones sobre una superficie horizontal: Una masa de 0,50 kg conectada a un resorte ligero de constante de fuerza a 20 N/m oscila sobre una pista horizontal sin fricción. a) Calcule la energía total del sistema y la velocidad máxima de la masa si la amplitud del movimiento es 3.0 cm. b) ¿Cuál es la velocidad de la masa cuando el desplazamiento es igual a 2.0 cm? c) Calcule las energías cinética y potencial del sistema cuando el desplazamiento es igual a 2.0 cm. d) ¿Para qué valores de x la velocidad de la amasa es igual a 0.10 m/s?

Solución.

a)      La energía total es E = ½ k.A² = ½ (20 N/m).(3x10^-2) ² = 9x10^-3 J

Cuando la masa está en x = 0, U = 0 y E = ½ m.v²_máx, así

½ m.v²_máx = 9x10^-3 J, de donde v_máx = √(18x10^-3J / 0.50 kg) = 0.190 m/s

b)      La velocidad para x = 2.0 cm, se calcula mediante la expresión

v = ± √(k/m)(A² – x²) = ± √(20/0.50)(3.0² – 2.0²)x10^-4 = ± 0.141 m/s

c)      La energía cinética es

K = ½ m.v² = ½ (0.50 kg).(0.141 m/s)² = 4.97x10^-3 J

La energía potencial es

U = ½ k.x² = ½ (20 N/m).(2.0x10^-2) ² = 4.0x10^-3 J

d)     Los valores de x para una velocidad de 0.10 m/s, se calcula haciendo uso de la expresión.

v = ± √(k/m)(A² – x²), de donde, v² = (k/m)(A² – x²), mv²/k = A² – x², entonces

x² = A² - mv²/k

x = √(A² - mv²/k)

x = ± √((3.0x10^-2)² – (0.50)(0.10)²/20))

x = ± 0.0255 m = ± 2.55 cm

Ejercicio propuesto. Un cuerpo de 4.5 kg oscila atado a un resorte e constante 200 N/m. si la velocidad en la posición de equilibrio es de 2 m/s, y no se considera la fricción, determina:

a)      La energía mecánica.

b)      La amplitud del movimiento.

c)      El periodo y la frecuencia de oscilación.

Fuente: FISICA SERWAY - Fisica tomo I. - Quinta edición. - Fisica II y nueva fisica 11 - Editorial Santillana.